Statistik, die Klick macht.
Vier Themenbereiche der deskriptiven Statistik. Nach Veröffentlichung im Browser wird auch der interaktive Quiz- und Fehlertrainer aktiv.
Skalen & Merkmale
Vor jeder Rechnung steht die Frage, was die Variable überhaupt ausdrückt.
Nominal → Ordinal → Intervall → VerhältnisNominal
Kategorien ohne feste Rangfolge, etwa die bevorzugte Lernmethode. Man kann Häufigkeiten zählen, aber keinen Mittelwert bilden.
Ordinal
Werte haben eine Reihenfolge, zum Beispiel Schulnoten oder Zufriedenheitsstufen. Die Abstände müssen nicht gleich groß sein.
Intervall
Gleiche Zahlenabstände bedeuten gleiche Unterschiede. Ein Nullpunkt ist festgelegt, aber nicht das Fehlen der Eigenschaft (zum Beispiel °C).
Verhältnis
Ein echter Nullpunkt erlaubt auch Aussagen wie „doppelt so viel“ – etwa bei einer gemessenen Zeitdauer.
Diskret oder stetig?
Diskrete Merkmale nehmen abzählbare Werte an, zum Beispiel die Anzahl richtiger Antworten. Stetige Merkmale können theoretisch beliebig fein abgestuft sein, etwa eine Zeitdauer.
Häufigkeiten & Verteilungen
Häufigkeiten zeigen, wie oft Werte auftreten und wie sich Daten verteilen.
Relative Häufigkeit = Anzahl / GesamtzahlAbsolute Häufigkeit
Die Anzahl der Fälle mit einem bestimmten Wert. Beispiel: 6 von 20 Personen bevorzugen den Morgen zum Lernen.
Relative Häufigkeit
Ein Anteil zwischen 0 und 1. Hier: 6 / 20 = 0,30; das entspricht 30 Prozent.
Kumulieren
Die Häufigkeiten werden von kleinen zu großen Werten aufaddiert. Die kumulierte Häufigkeit kann niemals sinken.
Prozentrang
Der Anteil in Prozent, der höchstens den betrachteten Wert erreicht hat – inklusive Gleichständen.
Schiefe
Bei positiver Schiefe ist der lange Ausläufer rechts; bei negativer Schiefe liegt er links.
Kurtosis
Die Exzess-Kurtosis beschreibt insbesondere die Neigung zu extremen Werten im Vergleich zur Normalverteilung. Dort beträgt sie 0.
Lage, Streuung & Boxplots
Lagemaße beschreiben den Mittelpunkt; Streuungsmaße die Unterschiede zwischen Beobachtungen.
IQR = Q3 − Q1Modalwert
Der am häufigsten beobachtete Wert. Das funktioniert sogar bei nominalen Kategorien.
Median
Der mittlere Wert einer sortierten Liste; bei gerader Anzahl metrischer Daten der Mittelwert der beiden mittleren Werte.
Arithmetisches Mittel
Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Extreme Werte beeinflussen das Ergebnis.
Quartile & IQR
Q1 und Q3 markieren grob das untere und obere Viertel. Die mittleren 50 % liegen dazwischen; ihre Breite ist der Interquartilabstand.
Varianz & Standardabweichung
Varianz ist die mittlere quadrierte Abweichung. Die Standardabweichung ist ihre Wurzel und steht wieder in der ursprünglichen Einheit.
Boxplot lesen
Die Box reicht von Q1 bis Q3, ihre Linie markiert den Median. Whisker und Ausreißer hängen von der verwendeten Boxplot-Konvention ab.
Transformationen & z-Werte
Damit Messwerte verschiedener Skalen sinnvoll vergleichbar werden, kann man sie transformieren.
z = (x − Mittelwert) / SDKonstante addieren
Wenn zu jedem Wert derselbe Betrag addiert wird, verschiebt sich der Mittelwert um genau diesen Betrag. Die Streuung bleibt gleich.
Mit einem Faktor multiplizieren
Der Mittelwert wird mit dem Faktor multipliziert. Die Standardabweichung mit seinem Betrag; die Varianz mit seinem Quadrat.
Zentrierung
Von jedem Wert den Mittelwert abziehen. Die neuen Werte haben einen Mittelwert von 0.
z-Standardisierung
Die z-Werte geben an, um wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittel liegt. Die transformierten Werte haben SD 1, sofern SD > 0.
Mindmap
Die Kapitel oben ergeben die vier Äste deiner Lernlandkarte. Tippe auf einen Begriff, um ihn aufzuklappen.
22 Lernkarten
Überlege erst, dann tippe auf die Karte, um die Antwort aufzudecken.
Skalen & Merkmale
Welches Skalenniveau hat die Haarfarbe?
Nominal: Es gibt Kategorien, aber keine natürliche Rangfolge.
Welche Information bietet eine Ordinalskala?
Die Reihenfolge der Werte, nicht die Größe ihrer Abstände.
Warum ist 20 °C nicht doppelt so warm wie 10 °C?
Die Celsius-Skala hat keinen natürlichen Nullpunkt; sie ist intervallskaliert.
Was kennzeichnet eine Verhältnisskala?
Gleiche Abstände und ein echter Nullpunkt; Verhältnisse sind sinnvoll.
Ist die Anzahl von Geschwistern diskret oder stetig?
Diskret: Werte wie 0, 1 oder 2 sind abzählbar.
Häufigkeiten & Verteilungen
Was misst die absolute Häufigkeit?
Wie oft eine bestimmte Ausprägung vorkommt.
12 von 40 Personen: Wie groß ist die relative Häufigkeit?
12 / 40 = 0,30, also 30 %.
Woran erkenne ich eine kumulierte Verteilung?
Die Werte sind aufsummiert und sinken nie; der letzte Anteil ist 1 bzw. 100 %.
Was bedeutet Prozentrang 80?
80 % der Beobachtungen haben einen kleineren oder gleichen Wert.
In welche Richtung zeigt der lange Ausläufer bei positiver Schiefe?
Nach rechts, zu den großen Werten.
Wie hoch ist die Exzess-Kurtosis einer Normalverteilung?
0. Positive Werte weisen häufig auf ausgeprägtere Randbereiche hin.
Lage, Streuung & Boxplots
Welches Lagemaß passt zu Lieblingsfarben?
Der Modalwert: die häufigste Kategorie.
Median von 1, 3, 9, 10, 12?
9 – der mittlere Wert der geordneten Liste.
Was reagiert besonders stark auf extreme Ausreißer?
Der arithmetische Mittelwert.
Was bedeutet IQR?
Interquartilabstand: Q3 − Q1. Er beschreibt die Breite der mittleren 50 %.
Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen?
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz.
Was bedeutet eine sehr schmale Box im Boxplot?
Die mittleren 50 % der Werte streuen wenig.
Wann ist die Spannweite besonders groß?
Wenn größter und kleinster Wert weit auseinanderliegen: Max − Min.
Transformationen & z-Werte
Alle Messwerte steigen um 5. Was passiert mit der SD?
Nichts. Das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.
Alle Werte werden verdreifacht. Was passiert mit der Varianz?
Sie wird 3² = 9-mal so groß.
Welchen Mittelwert haben zentrierte Daten?
0 – weil von jedem Wert der ursprüngliche Mittelwert abgezogen wurde.
Was bedeutet z = −1,5?
Der Messwert liegt 1,5 Standardabweichungen unter dem Mittelwert.
19 Quizfragen
Beantworte erst im Kopf. Die Auflösung versteckt sich unter jeder Aufgabe. Interaktive Auswahl und automatisches Punktefeedback funktionieren in der Browser-App.
Skalen & Merkmale
Eine Umfrage erfasst das Studienfach. Welches Skalenniveau liegt vor?
A: Nominal · B: Ordinal · C: Intervall
Lösung: A – Nominal. Studienfächer sind Namen für Kategorien; sie bilden keine allgemeine Rangordnung.
Welche Aussage zu einer Ordinalskala stimmt?
A: Abstände sind immer gleich groß · B: Eine Rangfolge ist interpretierbar · C: Es gibt stets einen echten Nullpunkt
Lösung: B – Eine Rangfolge ist interpretierbar. Ordinal bedeutet: Es gibt eine Ordnung, aber die Unterschiede zwischen Rängen bleiben offen.
Eine Reaktionsdauer wird in Sekunden gemessen. Die Skala ist …
A: nominal · B: intervall · C: verhältnis
Lösung: C – verhältnis. Null Sekunden bedeutet keine Dauer; 2 Sekunden sind doppelt so lang wie 1 Sekunde.
Welche Variable ist typischerweise diskret?
A: Anzahl Fehler · B: Körpergröße · C: Reaktionszeit
Lösung: A – Anzahl Fehler. Fehler werden gezählt. Zwischen 2 und 3 Fehlern liegt kein weiterer ganzzahliger Zählwert.
Für welches Skalenniveau ist die Berechnung des Medians mindestens sinnvoll?
A: Nominal · B: Ordinal · C: Nur Verhältnis
Lösung: B – Ordinal. Der Median benötigt eine geordnete Reihenfolge; gleiche Abstände sind nicht erforderlich.
Häufigkeiten & Verteilungen
9 von 30 Personen antworten mit „Ja“. Wie groß ist die relative Häufigkeit?
A: 0,09 · B: 0,30 · C: 3,33
Lösung: B – 0,30. Anteil = 9 / 30 = 0,30 = 30 %.
Was kann bei einer kumulierten Häufigkeitsverteilung nicht passieren?
A: Sie steigt · B: Sie bleibt gleich · C: Sie sinkt
Lösung: C – Sie sinkt. Beim Kumulieren werden nur nichtnegative Häufigkeiten addiert.
Der Prozentrang einer Punktzahl beträgt 60. Was heißt das?
A: 60 % liegen bei oder unter diesem Wert · B: 60 % liegen darüber · C: Der Wert ist 60 Punkte
Lösung: A – 60 % liegen bei oder unter diesem Wert. Der Prozentrang zählt alle kleineren und gleich großen Ergebnisse.
Eine Verteilung hat einen langen Ausläufer nach rechts. Sie ist …
A: negativ schief · B: positiv schief · C: zwingend symmetrisch
Lösung: B – positiv schief. Die Schiefe wird nach der Richtung des längeren Ausläufers benannt.
Welchen Wert hat die Exzess-Kurtosis bei einer Normalverteilung?
A: −1 · B: 1 · C: 0
Lösung: C – 0. Die Exzess-Kurtosis definiert die Normalverteilung als Vergleichspunkt mit 0.
Lage, Streuung & Boxplots
Wie groß ist der Median von 2, 4, 6, 8?
A: 4 · B: 5 · C: 6
Lösung: B – 5. Bei vier sortierten Werten liegt der Median zwischen dem 2. und 3. Wert: (4 + 6) / 2 = 5.
Welches Maß ist gegenüber einem einzelnen hohen Ausreißer meist robuster?
A: Median · B: Arithmetischer Mittelwert · C: Spannweite
Lösung: A – Median. Der Median basiert auf der Position, nicht auf der Größe einzelner Extremwerte.
Q1 = 12 und Q3 = 20. Wie groß ist der IQR?
A: 32 · B: 4 · C: 8
Lösung: C – 8. IQR = Q3 − Q1 = 20 − 12 = 8.
Die Varianz beträgt 49. Wie groß ist die Standardabweichung?
A: 7 · B: 24,5 · C: 49
Lösung: A – 7. Die SD ist die positive Wurzel aus 49, also 7.
Was bildet die horizontale Linie innerhalb einer Box üblicherweise ab?
A: Den Mittelwert · B: Den Median · C: Den Modalwert
Lösung: B – Den Median. Die Linie in der Box markiert das zweite Quartil, also den Median.
Transformationen & z-Werte
Zu allen Werten wird 12 addiert. Was passiert mit der Varianz?
A: Sie steigt um 12 · B: Sie bleibt gleich · C: Sie wird quadriert
Lösung: B – Sie bleibt gleich. Eine Verschiebung aller Werte verändert die Abstände untereinander nicht.
Alle Werte werden mit 4 multipliziert. Was passiert mit der SD?
A: Sie vervierfacht sich · B: Sie wird 16-mal so groß · C: Sie bleibt gleich
Lösung: A – Sie vervierfacht sich. Die Standardabweichung skaliert mit dem Betrag des Faktors: |4| = 4.
Ein Wert beträgt 75, der Mittelwert 65 und die SD 5. Wie groß ist z?
A: 0,5 · B: 10 · C: 2
Lösung: C – 2. z = (75 − 65) / 5 = 2.
Ein z-Wert beträgt −0,8. Der Wert liegt …
A: 0,8 SD über M · B: 0,8 SD unter M · C: genau bei M
Lösung: B – 0,8 SD unter M. Das negative Vorzeichen zeigt eine Position unter dem Mittelwert an.
Fehlertrainer
In der echten Browser-App speichert StatLab falsch beantwortete Fragen für die nächste Wiederholung.
Statistik-Rechner
Der interaktive Rechner funktioniert nach dem Öffnen der veröffentlichten Browser-Version. Dort kannst du Daten, z-Werte und Transformationen verändern.